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闭图像定理是数学中泛函分析的一条定理。闭图像定理可以从开映射定理推导出来。

定理定义

设X，Y为巴拿赫空间，为线性算子。定义T的图像为的子空间

。

赋予范数使得成为巴拿赫空间。那么，这定理指T是连续的（与有界等价）当且仅当Γ(T)在内是闭集。

验证推导

闭图像定理可以从开映射定理推导出来。

Γ(T)是闭集的充分必要条件是如果序列包含于Γ(T)（即对任意n有），而，那么。如果T是连续的，从连续性立刻可知Γ(T)是闭集，因为连续性是更强的条件：如果，则。

如果Γ(T)是闭集，可以在Γ(T)定义线性算子

π：，x是的一个逆像，

π：，y是的一个逆像。

显然，因此是有界算子。

Γ(T)是巴拿赫空间中的闭子空间，所以Γ(T)是巴拿赫空间。X也是巴拿赫空间，是双射，从而由开映射定理的系可知，其逆为有界算子，因为，故T也是有界的。

定理推广

从这定理可得出黑林格-特普利茨定理──希尔伯特空间上处处定义的对称线性算子是有界的。

泛化

闭图像定理可以通过以下方式推广到更抽象的拓扑向量空间：

当且仅当其图形在配备产品拓扑的空间中被关闭时，从圆筒空间X到Fréchet空间Y的线性运算符是连续的。

并且有一个不需要Y局部凸的版本：

如果两个F空间之间的线性映射图被关闭，则映射是连续的。

而闭图像定理的一般版本是：

假设X和Y是两个拓扑向量空间（它们不需要是Hausdorff或局部凸起），具有以下属性：如果G是任何闭合子空间，而y是任何连续映射 的G到X，那么你是一个开放的映射。在这种情况下，如果是一个线性映射，其图形被关闭，则f是连续的。

参考资料 >

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